Xerardo

Unha vez máis, isto rematou. Parabéns a todos aqueles que tiveron a fortuna de tirar proveito do ano que remata. E ánimo aos que non puideron rematar con éxito a singladura. A todos, moitas gracias polo voso interese e apoio, polo esforzo realizado, polos días compartidos, polas críticas –sempre son construtivas as críticas, por máis que pareza o contrario- e polas gabanzas, que tamén está ben de cando en vez que che pasen unha man polo lombo.

Como axuda para aqueles que teñan que preparar as probas de setembro, atoparedes na sección Público, os exames finais de xuño, coas súas correspondentes solucións. E un caderno de actividadades de reforzo. Tamén intentarei aumentar o número de presentacións e outros recursos (máis exames e problemas resoltos, por exemplo, ligazóns diversas, e xa veremos que máis) … pero iso será no mes de agosto. 

E, como dicía Joaquín Sabina, se me queredes atopar, xa sabedes onde estou.

A idea de límite é a base do que hoxe coñecemos como cálculo infinitesimal, que moitas veces se abrevia simplemente por cálculo. O cálculo infinitesimal abrangue o estudo dos límites de sucesións e funcións, a continuidade das funcións, e o cálculo diferencial –ou cálculo das taxas de variación- e o seu inverso, o cálculo integral.

O problema dos límites nas sucesións está vencellado ao escarregadizo concepto de infinito. Pódese considerar o paradoxo de Aquiles e o sapoconcho, formulada como Zenón de Elea, como unha intuición das implicacións do cálculo infinitesimal e da idea de límite, a pesar de que o que pretendía demostrar con el Zenón non fose senón unha entelequia. O problema básico reside na íntima conexión entre as cantidades moi grandes e as moi pequenas (matemáticamente chamadas infinitésimos) que non son aparentemente as máis empregadas na vida ordinaria, en cambio, o descubrimento das leis físicas está tan ligado ao cálculo infinetesimal que Newton desenvolveu o cálculo diferencial ao tempo que a lei da gravitación universal que describe como funciona a interacción chamada gravidade ou, para sermos claros, que é o peso dos corpos.

O noso obxectivo será analizar brevemente os fundamentos da idea de límite, a partir da tendenza de sucesións e funcións, visualizada mediante táboas de valores, para pasar a seguir a desenvolver os métodos de cálculo baseados nas propiedades do infinito, e finalmente, o estudo de certas propiedades locais das funcións que necesitan da idea de límite. Como sempre, apuntes e presentacións, xunto ás actividades de reforzo organizadas por obxectivos na sección Público

As funcións son o obxecto matemático que estivo na base do desenvolvemento científico a partir do século XVI. Intuídas de algunha maneira xa polos babilonios (se pensamos que unha relación entre valores de dúas magnitudes escritas en forma de táboa ben pode considerarse unha función) hai quen sostén que o Almagesto de Ptolomeo, un libro dedicado á astronomía, escrito no século II antes de Cristo, contén xa as primeiras funcións. En cambio, a formalización do concepto de función é bastante próxima aos nosos días, pois a definición que hoxe en día utilizamos de función matemática debémoslla ao matemático alemán Dirichlet, logo de intuicións e ideas que tñen a súa orixe en Galileo e Descartes, con contribucións de Euler, D’Alembert e case todos os matemáticos importantes dos séculos XVIII e XIX (unha breve historia do concept de función pode consultarse aquí (in english, but very easy) aplicadas a diversos campos que remataron por unificarse finalmente.

Basicamente unha función é a relación existente entre dúas magnitudes, entendidas estas como propiedades susceptibles de adoptar valores numéricos (ou doutro tipo, pero esa cuestión non a abordaremos nós) e a súa definición formal está fondamente relacionada coa teoría de conxuntos e co álxebra.

O que imos estudar é a formalización do concepto de función: cales son os elementos constituíntes dunha función (dominio e imaxe) as súas propiedades (crecemento, extremos, acoutación, etcétera) e as formas de definilas: mediante táboas, gráficas ou expresións matemáticas, e de operar con elas (só en 4º da ESO)

Como sempre, na carpeta público pode encontrarse unha presentación axeitada para 3º da ESO (Tema 12) e outra para 4º (tema 10_2) así como as actividades de reforzo, clasificadas segundo os obxectivos de cada nivel que poden servir como guía para preparar o tema, ou para resolver as dificultades que se encontren.

A importancia do tema das funcións fai que sexan innumerables as referencias na rede ás funcións, citaremos algunhas webs que poden esclarecer algúns aspectos dos tratados no desenvolvemento do tema, como a unidade interactiva:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1067

A actividade Clic

http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=1365

A unidade do proxecto Descartes:

http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=1365

ou este interesante vídeo sobre como atopar o dominio dunha función. Desde a páxina de Youtube á que se refire o enlace pode accederse a máis videos sobre funcións.

As sucesións numéricas son un elemento fundamental da análise matemática. Unha sucesión é un conxunto ilimitado de números que sigue unha lei, de maneira que cada termo pode obterse, ben mediante operacións cos números naturais, a partir dunha expresión coñecida como termo xeral, ben a partir de operacións cos propios termos da sucesión, operacións que se indican mediante unha expresión que recibe o nome de lei de recorrencia, ou fórmula de recorrencia. Con relación a isto deberemos saber identificar os termos dunha sucesión, o seu termo xeral ou fórmula de recorrencia e obter calquera termo da sucesión a partir destas.

Como obxectos matemáticos son susceptibles de facer operacións con eles: suma, diferenza, multplicación, cociente, etc… Temos que saber efectuar este tipo de operacións e comprender que a sucesión resultante ten un termo xeral que resulta de facer as operacións correspondentes coas expresións alxébricas dos termos de cada unha das sucesións que entran na operación.

Un tipo particular de sucesións son as progresións: son aquelas sucesións nas que a serie de números que forma a sucesión pode obterse mediante operacións simples con termos consecutivos . Chámanse progresións aritméticas cando entre os termos consecutivos hai unha diferenza constante, como en {3,8,11,16,21,…} e progresións xeométricas cando o cociente entre os termos consecutivos é constante. As progresións son especialmente útiles para a realización de cálculos complexos, como sumas ou produtos enormes, de aí o seu interese matemático. Entre as súas aplicacións máis interesantes encóntranse os cálculos financeiros ou de dinámica de poboacións: foi precisamente a aplicación da teoría matemática das progresións por Malthus, no século XIX, a que deu lugar a unha controversia que continua hoxe en día sobre a capacidade do planeta para soportar o incremento da poboación. 

A presentación na que se desenvolven os conceptos fundamentais das sucesións pode atoparse nos espazos da carpeta Público dedicados a Matemáticas de 3º e de 4º.

Alguns enlaces interesantes para a revisión de conceptos ou a práctica de exercicios son:

http://es.wikipedia.org/wiki/Malthus no que pode verse unha biografía de Malthus

http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss contendo a biografía de Gauss.

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica cos fundamentos sobre as progresións aritméticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica cos fundamentos das progresións xeométricas

Cada vez que utilizamos unha fórmula matemática estamos empregando unha expresión alxébrica. Do que se trata aquí e de estudiar as súas propiedades e a forma de operar con elas. Comezaremos estudando as máis simples: as fraccións alxébricas, que son cocientes de polinomios. Como propiedade máis interesante temos a particularidade de que non sempre se pode calcular o seu valor numérico: temos que aprender a encontrar os valores para os que aocntece isto, que son aqueles que anulan ao denominador. Tamén aprenderemos a operar con fraccións alxébricas: sumar, restar, multiplicar e dividir, asi como a obtención de fraccións equivalentes e o particular significado da equivalencia para as fraccións alxébricas.

A segunda clase de expresións alxébricas que estudaremos son as expresións radicais. Tanto neste caso como no anterior, as regras para operar son as mesmas que para operar con números: aproveitaremos para repasar esas regras e a súa aplicación ás expresions con letras.

Na sección de público poderás atopar unha presentación que describe todas estas cousas, asi como os arquivos correspondentes ás clases do tema.

A definición dos obxectos matemáticos de forma coherente e precisa é un dos maiores problemas da disciplina. Conceptos aparentemente simples como unha liña recta admiten mil interpretacións, e están lastrados polo mal emprego das palabras e dos propios conceptos. Como exemplo da finura de análise e de vocabulario necesario para definir os conceptos relativos á recta pode consultarse na wikipedia a definición de Euclides da liña recta, para ver como o aparentemente simple, non o é tanto.

O obxectivo do tema é aprender a manexar o formalismo das ecuacións da recta. Un pode plantexarse simplemente aprender unha serie de ecuacións e ver que pasa… O que se pretende neste tema é:

-Saber cales son os elementos definitorios dunha recta (punto coñecido e vector director, ou dous puntos)

-Comprender e aplicar que a ecuación dunha recta é a propiedade que cumplen todos os seus puntos, e que esta relación exprésase como unha relación entre as coordenadas dos puntos da recta.

-Que esta relación pode adoptar mútliples formas, pero en calquera delas sempre deben saber localizarse os elementos definitorios: un punto e a dirección (mediante vector director ou coa interpretación da pendente)

Finalmente, un artigo sobre a recta dun certo nivel pode atoparse aquí (en inglés: a practicar idiomas!)

Unha recomendación importante: coa presentación (en formato openoffice) que encontraredes na sección Público encontraredes tamén unha folla de cálculo (openoffice) que permite obter as ecuacións da recta e ver a súa representación gráfica para cada unha das formas da ecuación. Ambos ficheiros deben instalarse no mesmo directorio para que os enlaces da presentación á folla de cálculo funcionen. Tamén se pode baixar o arquivo excel equivalente, pero este non está vinculado á presentación.

O formalismo matemátco dos vectores ten tido tanto éxito dentro da física e da ciencia en xeral que hoxe o número de significados da palabra vector é enorme. Matemáticamente, un vector é un simple segmento orientado, pero o formalismo asociado a él -o chamado cálculo vectorial- fixo posible o desenvolvemento da idea central da física do século XVIII e XIX: a idea de campo, que revolucionou o entendemento da naturaza das interaccións a distancia (hoxe en día sabemos que todas as interaccións son "a distancia ") e preparou o terreo para - co desenvolvemento da xeometría diferencial e alxébrica, e xunto a outras teorías matemáticas igualmente complexas- as novas ideas que revolucionaron a ciencia, e con ela, a vida, nos primeiros anos do século XX.

Os vectores, son pois, matemáticamente, o punto de partida da revolución científica, xunto ao cálculo diferencial, aínda que se desenvolveron tardíamente a partir de conceptos alxébricos moito máis complexos (os quaternios de Hamilton nos que tamén traballara Gauss).

Nós non habemos ir tan alá. Conformarémonos con introducir o concepto de vector, aprender a distinguir entre vector fixo e libre, facer as operacións máis simples (suma, resta, produto por un escalar e produto escalar) tanto de forma gráfica como analítica (con números) e meter un pouco de trigonometría na danza.

Como dicían os vellos, "antes de correr hai que aprender a andar".

Atoparedes a unha presentación (bastante pouco animada aínda, esa é a verdade) e o pdf na sección público/matemáticas/

Outros lugares de interese onde se estuda o tema son a unidade de vectores no plano do proxecto Descartes do MEC, e nesta páxina de Jaume Bartrolí Brugués, unhas animacións ben interesantes e prácticas.

A determinación das raíces de polinomios, ou o que é o mesmo, a resolución de ecuacións alxébricas é un problema moi antigo, tanto que se conserva un documento, o papiro de Moscú, datado no ano 1890 antes de Cristo, no que se pide calcular o tronco dunha pirámide cuadrangular.

As utilidades dos polinomios, como de moitas outras expresións alxébricas, son innumerables -como curiosidade podemos dicir que nas primeiras declaracións da renda españolas as cotizacións calculábanse mediante unha fórmula polinómica- polo que resulta imprescindible aprender as propiedades destes obxectos, e como se realizan operacións con eles.

Para elo empezaremos definindo os conceptos fundamentais, logo seguiremos repasando as operacións básicas: a suma, a resta e o produto, para abordar mais adiante a división ordinaria e o algoritmo de Ruffini. O problema da determinación dos valores numéricos e das raíces dos polinomios foi abordado por diferentes matemáticos, coñecéndose fórmulas para resolver problemas de ata cuarto grao desde o século XVI, pero unha cousa é calcular os valores, e outra desenvolver métodos para resolver as ecuacións, isto é, determinar as raíces. O teorema fundamental do álxebra, enunciado por Gauss na súa tese doutoral de 1799, dinos cantas raíces pode ter un polinomio, pero non cales son nin de que tipo. Nos limitarémonos aos casos máis simples, entendendendo por tales aqueles casos nos que existen raíces enteiras, pero tamén abordaremos algún caso máis complicado, no que as ecuacións de segundo grao poden botarnos unha man.

Por último, hai que dicir que resulta sumamente útil en todos estes cálculos o coñecemento das igualdades notables, e abordaremos -neste sentido- o método de Tartaglia para a obtención das potencias dun binomio.

A medida dos tres ángulos, ou a medida do triángulo. Iso é o que significa trigonometría. Neste tema estudaremos primeiro as unidades de medida dos ángulos, graos e radiáns. Isto inclue a xeralización do concepto de ángulo a ángulos non agudos, e incluso a ángulos superiores a 360º ou 2pi radiáns (enténdase pi=3,141592... = cociente entre a lonxitude da circunferencia e o seu diámetro). Como curiosidade citaremos os grados centesimais, pero non os empregaremos en ningún caso, xa que presentan practicamente os mesmos problemas que os graos ordinarios. Hai que ter conta de que a calculadora estea no MODE correcto á hora de realizar as contas con medidas de ángulos.

A continuación estudaremos a ampliación da definición de razón trigonométrica baseándonos xa non nos catetos do triángulo, senón nas coordenadas dos puntos dunha circunferencia, en particular da circunferencia goniométrica. Resulta interesante acceder á edición inglesa do artigo anterior da wikipedia, sobre a circunferencia unitaria (unit circle) para facer un pouco de práctica de inglés.

Esta extensión da definición ocasiona a existencia dunha serie de relacións entre as razóns trigonométricas nos distintos cuadrantes, e entre ángulos complementarios, suplementarios, etcétera. Relacións que poden obterse de forma gráfica, como teremos ocasion de aprender, sobre a circunferencia unitaria ou goniométrica.

Por último estudaremos aplicacións da trigonometría como a determinación de alturas e distancias, e aplicarémolo á resolución de problemas máis ou menos prácticos

As clases encontrarédelas na carpeta "Publico/Matemáticas/Apuntes4º". Próximamente tamén aparecerán na forma de presentación para Power Point.